摘　要　基于复杂网络理论，在分析国内地铁网络拓扑结构的基础上对其相继故障进行了研究。结果表明：国内地铁网络具有较大平均最短路径，聚类系数近似为零，节点度和介数具有线性正相关性，度分布近似为Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，网络结构近似为随机网络；在相继故障扩散过程中蓄意攻击比随机攻击具有较快的传播速度，但在扰动幅度和故障规模关系中呈现出相似的变化趋势，蓄意攻击效果并不明显。

关键词　复杂网络；地铁网络；拓扑结构；相继故障

　　

      同自然界多数网络类似，城市地铁网络也是由线和点组成，是１种典型的复杂网络^［１］。国内一些主要城市，如北京、上海、广州地铁建设已初具规模。随着网络规模的不断扩大，城市地铁也会出现一系列问题，例如信号故障，乘客人数的骤增造成列车、站台过度拥堵，等等。这些节点或边发生的故障会通过线路和车站之间的耦合关系扩散开来，从而引起其他节点故障，最终导致部分节点甚至整个网络的崩溃，即发生相继故障^{［２－３］}。因此有必要对网络化条件下国内地铁网络拓扑结构特性以及相继故障的发生、发展进行研究，从而对故障的预防、控制提供理论依据。

      国外对地铁网络复杂特性已有初步研究，而国内在这方面研究较少。Ｌａｔｏｒａ^［４］等人研究了波士顿地铁网络特征，并提出网络构造法则；Ｓｅａｔｏｎ和Ｈａｃｋｅｔｔ^［５］分析了维也纳和波士顿地铁网络的小世界特性；Ａｎｇｅｌｏｕｄｉｓ^［６］分别从地铁成网过程和网络类型等方面进行了研究；汪涛^［７］等人分别研究了城市地铁网络的Ｓｐａｃｅ　Ｌ和Ｓｐａｃｅ　Ｐ模型；李进^［８］分析了国内外多个城市地铁网络拓扑特性并对北京地铁鲁棒性进行研究，得到一些有意义的结论。国内外对相继故障的研究主要集中在网络拓扑结构类型方面^{［９－１２］}，对地铁网络相继故障的研究较少涉及。

      本文采用Ｍａｔｌａｂ编程仿真，对北京、上海、广州３个城市地铁网络复杂特性进行了研究，研究主要分为２个方面：

      １）采用Ｓｐａｃｅ　Ｌ网络模型构造方法^［７］，得到地铁网络各特征值，对网络拓扑结构进行分 析。

      ２）采用基于耦合映像格子（ＣＭＬ）的相继故障模型，分析地铁网络相继故障传播特点，得到随机攻击和蓄意攻击２种策略下扰动幅度和故障规模关系，以及相继故障在这２种攻击下的扩散过程。

 

      １）直径与平均路径长度。网络中２点之间的距离定义为连接２点的最短路径边数。其中任意２点之间距离的平均值称为网络的平均路径长度，记为Ｌ；任意２个节点之间的距离的最大值称为网络的直径，记为Ｄ。平均路径长度与直径是衡量网络传输效率的重要指标。

      ２）度与度分布。度是节点在复杂网络中的１个重要属性，是指与该节点连接的边数。节点度的分布情况可以用分布函数Ｐ（ｋ）来描述，是指１个随机选定的节点度恰好为ｋ的概率。度分布反映了节点度在网络中的宏观统计特征。

      ３）聚类系数。聚类系数Ｃ_ｉ又叫做群聚系数，定义为与该节点直接相邻的实际边数目与最多可能边数之比。聚类系数是反映网络中节点聚集程度的重要参数。整个网络的聚类系数＜Ｃ＞即为网络中所有节点聚类系数的平均值。

      ４）节点介数。节点介数是指网络中通过该节点的最短路径的数目。节点介数是１个宏观统计量，反映了相应节点在整个网络中的重要程度。

      结合上述评价分析指标，对北京、广州、上海地铁网络的拓扑结构特征进行对比分析，

      其中对地铁网络构造说明如下：

     １）分析所用数据均来自各城市地铁运营公司官方网站，时间截止到２０１１年底。

      ２）地铁网络采用Ｓｐａｃｅ　Ｌ构造方法，以地铁车站作为网络节点，若在实际网络中２站点之间有线路直接相连，则将其作为构造网络的１条边，并且在网络构造过程中对部分线路和站点进行了适当处理。对于部分孤立线路，比如北京地铁９号线、房山线和Ｓ２线，以及尚未开通站点均不在数据统计范围之内。

      ３）不考虑地铁线路方向和列车在线路上行驶时间，将地铁网络抽象为无向非加权网络。对北京、广州、上海地铁网络拓扑结构特征值统计见表１：其中直径、平均路径长度、度、平均度在复杂网络中均为无纲量，在此指代不同情形下两点之间边的个数。

      由表１可知：北京、广州、上海地铁网络规模虽不相同，但其直径、平均度、平均路径长度和聚类系数都非常接近，说明３座城市具有相似的网络逻辑结构。地铁网络平均度接近于２、平均路径长度在１４～１５之间，说明多数站点仅有１条地铁线路通过，任意２点平均需要经过１４～１５个站点才能到达目的地，该值明显大于小世界或无标度网络中平均路径标度值ｌｇＮ，其中Ｎ为网络节点数；北京和广州聚类系数为零，上海近似为零，这是因为在上海地铁网络中宜山路、徐家汇和上海体育馆３个车站两两相连，在网络形态上呈现出三角形，从而导致网络中节点的聚类特征，而小的聚类系数则意味着地铁网络容错性较差，可选择的出行路径较少，当某段线路被临时取消时，对部分乘客会造成较大影响。以上分析表明城市地铁网络具有较小的聚类系数和较大的平均最短路径，网络中站点较为分散，网络路径的可替代性较差。这同熟知的万维网、社会网络、生物网络^［１３］等许多现实中的其他网络有明显不同。

      北京、广州、上海地铁网络介数和度的关系见图１。

      从图１（ａ）、（ｂ）、（ｃ）中可以直观的看出，度越大则相应度的节点介数会在１个更大的数值周围波动，度和介数之间呈现出正相关性。说明在国内地铁网络中与节点所连接边越多则可能有更多的最短路径通过，则该节点越重要。在复杂网络中节点度反映了节点自身的重要性，是１个微观数值，而节点介数则反映出节点在整个网络中的重要程度，是１个宏观统计量，以上结果表明了在地铁网络中节点在微观和宏观上的一致性。

      为了更好的说明度和介数的统计关系，在此引入度的平均介数的概念。将度的平均介数定义为度为ｋ的所有节点介数的平均值，以下简称平均介数。从而得到图１（ｄ），可以看出度和平均介数的关系曲线近似为直线，经Ｍａｔｌａｂ拟合分别得到３城市曲线斜率为：北 京０．０６３ ５９，广 州０．１０１　７０，上海０．０４５　２７。可以看到拟合曲线斜率的大小关系为，广州＞北京＞上海，而其网络规模恰好相反。表明国内地铁网络度和平均介数呈线性正相关，而且这种正相关性会随着地铁网络规模增大而变得越来越弱。

      地铁网络度分布分析：

      地铁网络度分布拟合曲线如图２所示。

      从图２中可以看出国内地铁网络大部分站点度为２（其中北京８１．４％、广州８２．０％、上海７９．９％），少数其他度数站点分布在两侧，度分布曲线存在明显峰值，可以近似为Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，通过对多种拟合函数比较分析，发现高斯分布函数可以得到较好的拟合结果。经Ｍａｔｌａｂ拟合，得到如下拟合函数：

      北京。Ｐ（ｋ）＝０．８４５　６×ｅ^{－（（ｘ－１．８９）／０．５６３　５）２}

      广州。Ｐ（ｋ）＝０．８３９　２×ｅ^{－（（ｘ－１．９０７）／０．６０７　２）２}

      上海。Ｐ（ｋ）＝０．８１１×ｅ^{－（（ｘ－１．９２９）／０．５８５　９）２}

    以上３个拟合函数的方程确定系数均在０．９８以上，均方根误差和残差平方和分别在０．００９和０．０３８以内，拟合效果较好。

      在复杂网络中，规则网络的特点是聚类系数较大而平均路径较长；随机图与之恰好相反，且度分布近似为Ｐｏｉｓｓｏｎ分布；小世界网络模型具有较短的平均路径 （约为ｌｇＮ）和较高的聚类系数；无标度网络的度分布具有幂率形式^［１６］。通过对北京、广州、上海地铁网络拓扑结构分析可以看到，以Ｓｐａｃｅ　Ｌ模型为基础的国内地铁网络具有较小的聚类系数和较大的平均最短路径，度和介数呈线性正相关，度分布近似服从Ｐｏｉｓｓｏｎ分布。显然地铁网络既非规则网络，同时又不属于小世界或无标度网络，而是具有一定随机网络特征的混合拓扑结构网络。这主要是因为对于地铁网络而言，有其建设的特殊性和复杂性，因而表现出一定的不确定性。通常在有限的土地和资金条件下，为了保障网络覆盖率和良好的平行线路间距，地铁网络会在保证乘客出行方便的前提下，尽量均匀的覆盖所在地区，除环线之外，其他线路间相互联系较少，因而造成地铁网络的平均度接近于２，多数站点仅有一条线路通过，并且极少出现站点的聚类现象。同时城市地铁发展受到地形、经济、政策等诸多方面的制约，在实际规划线路时还要考虑乘客的出行服务频率、线路客流分布、线路重复率等因素，导致新增站点的不确定性，在网络拓扑结构上则表现出一定的随机网络特征。

 

      将具有Ｎ个节点的ＣＭＬ相继故障模型描述如下^{［１０－１１，１５］}：

式中：ｘ_ｉ（ｔ）为第ｉ个节点在ｔ时刻的状态。Ｎ个节点的连接信息用邻接矩阵Ａ＝（ａ_ｉ，ｊ）Ｎ×Ｎ表示。若节点ｉ和ｊ之间有边相连，则ａ_ｉｊ＝ａ_ｊｉ＝１；否则ａ_ｉｊ＝ａ_ｊｉ＝０。规定任意２个不同的节点之间至多只能有一条边，且不允许节点和自身相连。ｋ（ｉ）是节点ｉ的度，ε∈（０，１）表示耦合强度。非线性函数ｆ表征节点自身的动态行为，选择为混沌Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射：ｆ（ｘ）＝４ｘ（１－ｘ），当０≤ｘ≤１时，０≤ｆ（ｘ）≤１。上式中的绝对值符号保证各节点的状态非负。如果节点ｉ的状态在ｍ个时序内始终在（０，１）范围内，即０＜ｘ_ｉ（ｔ）＜１，ｔ≤ｍ，那么称节点处于正常状态。如果在ｍ时刻，节点ｉ的状态ｘ_ｉ（ｍ）≥１，那么称节点在此刻发生故障，节点在以后的任意时刻状态恒等于零，即ｘ_ｉ（ｔ）≡０，ｔ＞ｍ。在节点状态按照公式（１）迭代演化的网络中，如果所有Ｎ个节点的初始状态都在（０，１）范围内，并且没有外部扰动，那么所有的节点将永远保持正常状态。

      假设在ｍ时刻给某个节点ｃ施加１个外部扰动Ｒ≥１，见式（２）

 

      在这种情况下，节点ｃ在第ｍ时刻发生故障。因此，对所有的ｔ＞ｍ有ｘ_ｃ（ｔ）≡０。在第ｍ＋１时刻，与ｃ直接相邻的节点都将受到ｍ时刻ｃ节点的状态ｘ_ｃ（ｍ）的影响，并且这些节点的状态值按照式（１）计算得出。此时计算出来的节点状态值也有可能大于１，从而会引起新一轮的节点故障。这个过程反复进行，节点故障就可能扩散，最终导致网络的崩溃。

      数呈正相关性，故只将度作为区分关键节点和非关键节点的特征参数。本次仿真工具采用Ｍａｔ－ｌａｂ，图中数据均为５０次实验的平均值，并在第１０个时刻选择攻击节点施加扰动Ｒ（Ｒ≥１）。与常规公交相比，地铁作为１种高密度交通运输系统，具有较高的独立性，站点之间耦合强度都比较大，因此在这里取ε为０．６。实验采取２种攻击策略：随机攻击和蓄意攻击。前者模拟地铁网络中随机发生的节点故障，将初始扰动施加到随机选择的１个节点上；后者模拟地铁网络遭受蓄意攻击时的情况，攻击者通常会选择关键节点进行攻击，在这里对北京、广州、上海分别选取西直门、广州火车站、世纪大道作为攻击目标。首先读入网络邻接矩阵，求出相应参数，然后根据ＣＭＬ相继故障模型得到仿真结果，输出数据并画出关系图。
      图３显示了地铁网络中在随机攻击和蓄意攻击２种策略下，扰动幅度Ｒ与故障规模Ｉ（即发生相继故障的节点个数与整个网络节点个数比值，为无纲量）的关系曲线。从图中见，３座城市地铁网络的扰动幅度与故障规模均有相似的变化趋势，故障规模都会随着扰动幅度的增大而增加，并且在这２种攻击策略下均存在相似的阙值Ｒ₁^*、Ｒ_２^{*［１４］}。当Ｒ在这种情